散射的基本概念

虽然考试是考完了……但是我还是觉得把笔(la)记(ji)整理完比较好,另外后续我确实还有一门量子相关的课,不管做什么,有始有终才是我喜欢的。

当时写这篇笔记的时候我还没有完整的把散射理论复习完,因此这次修改了本文的部分句子和段落。

经典散射

为了研究某个势场对粒子的偏转作用(散射性质),在实验中我们往往会用一束粒子轰击目标,通过测量某个立体角内被散射的粒子数得到势场的性质,但这样测量的结果显然与入射粒子流密度有关,因此我们可以定义一个物理量$d\sigma=\dfrac{dn}{J}$,其中$dn$表示单位时间内在该立体角内测量到的粒子数,$J$表示入射粒子束流密度,即单位时间内通过单位面积的粒子数,这样定义的$d\sigma$具有面积的的量纲,称为散射截面,由于散射过程中粒子数没有发生变化,可以认为有效散射截面是散射到该立体角的粒子束的入射截面。现在将截面除以立体角则得到所谓的微分散射截面$\dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\phi)$。对立体角作积分,得到所谓总截面$\sigma$,它意味着所有落在这个截面的粒子都会发生散射。

现在考虑球对称势场,假设以瞄准距离$b\sim b+db$入射的粒子束单调地地散射到某个方位角$\theta\sim\theta+d\theta$内,则微分散射截面可以写为$\dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\theta)=\dfrac{bdbd\phi}{\sin\theta d\theta d\phi}=\dfrac{b}{\sin\theta}|\dfrac{db}{d\theta}|$,这样我们在知道势场表达式的时候可以很方便的算出对应的微分散射截面。

量子散射

对于量子的情况,单个粒子不再由经典的坐标和动量描述,而是以波函数描述。假设入射粒子波函数具有平面波的形式$\psi(\vec{r})=e^{ikz}$(即自由粒子能量本征态,这里略去时间的指数项,因为在后续计算中不重要),那么经过球对称势散射后($r\to \infty$)波函数可以写成$\psi(\vec{r})=e^{ikz}+\dfrac{f(\theta)}{r}$的形式,根据概率诠释,我们可以定义其几率密度和几率流:

$$ \rho(\vec{r},t)=\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)\\ J=\frac{\hbar k}{2m}(\psi\nabla\psi^*-\psi^*\nabla\psi) $$

从而计算出入射流$J_i=\dfrac{\hbar k}{m}\hat{z}$和散射流$J_s=\dfrac{\hbar k}{m}\dfrac{f^2(\theta)}{r^2}\hat{r}$(这里的波函数只取被散射的部分),事实上几率流可以和经典的粒子束流作对应,微分散射截面的概念仍然成立。则在某个立体角内单位时间接收到的粒子数为$dn=J_s r^2 d\Omega$,因此微分散射截面恰好为$|f^2(\theta)|$,通常称$f(\theta)$为散射振幅

看起来为了求得微分散射截面,我们只需要求解具有$r\to\infty$边界条件$\psi(\vec{r})=A(e^{ikz}+\dfrac{f(\theta)}{r})$的定态薛定谔方程,然而这样的直接求解通常是困难的,另外上文中我们考虑的只是定态入射粒子,我们需要发展一般的含时散射理论。

含时散射的一般性理论

渐进态

设粒子的哈密顿量可以写为$H=H_0+V(r)$,其中$H_0$是自由粒子哈密顿量。对于含时量子态$|\psi_t\rangle$,随着时间幺正演化$|\psi_t\rangle=u(t)|\psi\rangle$,$u(t)=e^{-iHt}$是演化算符(这里及以后的式子中令$\hbar=1$),$|\psi\rangle$是$t=0$时的量子态。

我们对势做以下假定:(1)势$V(r)$在$r\to\infty$时比$r^{-3}$衰减得更快;(2)势在$r\to0$时不比$r^{-3/2}$更奇异;(3)$V(r)$在$0<r<\infty$范围内连续,或者只有有限个有限的不连续点。我们可以认为这样的势有一定的作用范围,$r>r_0$时,粒子的哈密顿量$H$近似为自由粒子哈密顿量$H_0$,那么粒子的演化可以用$u_0(t)$代替。

事实上对于散射过程,我们只关心它的入射态和出射态,因此对于处于散射过程$t=0$的量子态$|\psi\rangle$定义其入渐进态$|\psi_{in}\rangle$和出渐进态$|\psi_{out}\rangle$:

$$ \lim_{t\to-\infty}u(t)|\psi\rangle-u_0(t)|\psi\rangle=0\\ \lim_{t\to+\infty}u(t)|\psi\rangle-u_0(t)|\psi\rangle=0 $$

有所谓的渐进条件定理:只要势满足上述的假设,由哈密顿量$H$确定的希尔伯特空间$\mathscr{H}$中的任意一个入/出渐进态,都能找到$|\psi\rangle$与之对应。但反之则不然,因为我们选择的$|\psi\rangle$可能是束缚态,当然不存在对应的入/出渐进态,但是我们可以把希尔伯特空间写成束缚态子空间$\mathscr{B}$和散射态子空间$\mathscr{R}$的直和。

图1

定义Moller算符联系渐进态和实际态。

$$ \Omega_{+}=\lim_{t\to-\infty}u^{\dagger}(t)u_0(t)\\ \Omega_{-}=\lim_{t\to\infty}u^{\dagger}(t)u_0(t)\\ |\psi\rangle=\Omega_{+}|\psi_{in}\rangle\qquad |\psi\rangle=\Omega_{-}|\psi_{out}\rangle $$

相反的,Moller算符的共轭可以将实际态转化为渐进态,但是要注意,Moller算符的共轭是定义在散射态子空间上的。

Moller算符缠绕关系:$H\Omega_{\pm}=\Omega_{\pm}H_0$。这个关系的证明有一定技巧性,先假设有限时间$\tau$

$$ e^{iH\tau}\Omega_{\pm}=\lim_{t\to\mp\infty}e^{iH\tau}e^{iHt}e^{-iH_0t}=\lim_{t\to\mp\infty}e^{iH(t+\tau)}e^{-iH_0t}\\ =\lim_{t\to\mp\infty}e^{iH(t+\tau)}e^{-iH_0(t+\tau)}e^{iH_0\tau}=\Omega_{\pm}e^{iH_0\tau} $$

两边对$\tau$求导并令$\tau=0$即得证。

正交条件:$\Omega^{\dagger}_{\pm}\Omega_{\pm}=1$但是$\Omega_{\pm}\Omega^{\dagger}_{\pm}\not=1$。这是因为任意选取希尔伯特空间中的渐进态,有$\langle\psi_{in,out}|\Omega^{\dagger}_{\pm}\Omega_{\pm}|\psi_{in,out}\rangle=\langle\psi|\psi\rangle=1$,但是反过来选取的$|\psi\rangle$是散射态子空间$\mathscr{R}$中的,因而不成立。

S矩阵和散射振幅

我们定义散射算符$S=\Omega^{\dagger}_{-}\Omega_{+}$,则散射算符能将入射渐进态变换为出射渐进态,即有$|\psi_{out}\rangle=S|\psi_{in}\rangle$,取其厄米共轭,有$|\psi_{in}\rangle=S^{\dagger}|\psi_{out}\rangle$。由于入/出射渐进态可以是希尔伯特空间中的任意一个态,可以验证散射算符是一个厄米算符。

散射算符对易关系:$[H_0,S]=0$。证明是容易的,只需要使用两次缠绕关系。与$H_0$的对易说明了在散射过程中能量守恒,可以直接验证如下$E_{out}=\langle\psi_{out}|H_0|\psi_{out}\rangle=\langle\psi_{in}|S^{\dagger}H_0S|\psi\rangle=\langle\psi_{in}|S^{\dagger}SH_0|\psi_{in}\rangle=E_{in}$。

定义S矩阵为散射算符在动量表象下的表示,由于自由粒子哈密顿量与动量对易,有共同本征矢,$\langle\vec{p}’|[H_0,S]|\vec{p}\rangle=(E_{p’}-E_{p})\langle\vec{p}’|S|\vec{p}\rangle=0$,说明S矩阵只有在$E_{p’}=E_{p}$时才有非零值。

定义在壳T矩阵:$\langle\vec{p}’|S-1|\vec{p}\rangle=-2\pi i\delta(E_{p’}-E_{p}t(\vec{p}’\leftarrow\vec{p}))$,之所以称其在壳,是因为其仅仅在$\delta(E_{p’}-E_{p})$时有定义,它包含了散射信息,因为$S-1$度量了散射态和入射态之间的差异。

借助T矩阵,我们可以得到散射振幅$f(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})=-(2\pi)^2mt(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})$,这样得到的散射振幅和上一节中定义的散射振幅是一致的,绝对值的平方即为对应的微分散射截面(入射动量为$\vec{p}$,散射后的动量为$\vec{p}’$)。其证明稍显复杂,这里只提一下关键的思路。

我们知道,散射粒子分布在某个立体角范围内的概率为

$$ w(d\Omega\leftarrow\psi_{in})=d\Omega\int_{0}^{\infty}p’^2|\langle\vec{p}’|\psi_{out}\rangle|^2 $$

现在假设入射渐进态是一个含瞄准参数$b$的态,在动量表象下$\psi_{in}(\vec{p})=e^{-i\vec{b}\cdot\vec{p}}\phi(\vec{p})$,其中$\phi(\vec{p})$近似为动量本征态$\vec{p}_0$在动量表象下的波函数,前面的e指数表示这个态是本征态朝着某个方向的平移(假设平移方向是垂直于本征态动量的),不同的$b$表示不同的瞄准距离。

现在考虑一堆含瞄准参数的粒子入射,单位时间通过单位面积的粒子数为$J$,那么单位时间内在某个立体角内接收到的粒子数为$dn=\int d^2b Jw(d\Omega\leftarrow\psi_{in})$,这时我们发现除以$J$和$d\Omega$后恰好就是微分散射截面。于是剩下的步骤就是暴力计算和数学技巧……orz

reference

课堂讲义和John.R.Taylor所著的Scattering Theory: the quantum theory on nonrelativistic collisions