含时散射的一般性理论(续)

格林算符

在数学物理方法中我们了解到解偏微分方程可以利用所谓的格林函数,对应到薛定谔方程,我们定义$\langle\vec{r}|G(z)|\vec{r}’\rangle$函数,满足

$$ (\frac{\nabla^2}{2m}-V(\vec{r})+z) \langle\vec{r}|G(z)|\vec{r}’\rangle=\delta(\vec{r}-\vec{r}’) $$

它是含参格林算符$G(z)$在坐标表象中的矩阵表示,我们记算符$A$的逆为$\dfrac{1}{A}$,则

$$ G(z)=\frac{1}{z-H} $$

同样的,自由空间格林算符$G_0(z)=\dfrac{1}{z-H_0}$

假设哈密顿算符的本征态为一系列本征值为$E_n<0$的束缚态$|n\rangle$和$E>0$的连续态$|E,\alpha\rangle$(这里$\alpha$是额外量子数),格林算符在除去单极点$z=E_n$和从$0$到$\infty$的分支解析。知道格林算符相当于求解了本征值问题。

Lippmann-Schwinger方程

直接求解格林算符是困难的,但是我们知道自由空间的格林算符,如果能找到这两者之间的联系,问题就得到了简化。

对于逆算符,有恒等式

$$ \frac{1}{A}=\frac{1}{B}+\frac{1}{A}-\frac{1}{B}=\frac{1}{B}+\frac{1}{B}(B-A)\frac{1}{A} $$

现在把$A=z-H$和$B=z-H_0$代入,或者$A=z-H_0$和$B=z-H$代入,就得到了两条著名的Lippmann-Schwinger方程(LSE)

$$ G(z)=G_0(z)+G_0(z)VG(z)\\ G(z)=G_0(z)+G(z)VG_0(z) $$

因此我们可以迭代地求解格林算符

$$ G(z)=G_0(z)+G_0(z)VG_0(z)+G_0(z)VG_0(z)VG_0(z) $$

T算符

T算符定义为

$$ T(z)=V+VG(z)V $$

容易证明$G_0(z)T(z)=G(z)V$和$T(z)G_0(z)=VG(z)$,从而有T算符的LSE

$$ T(z)=V+VG_0(z)T(z)=V+T(z)G_0(z)V $$

格林算符和Moller算符的联系

对于含时算符,我们可以把它表示为其微分的积分形式

$$ F(t)=F(0)+\int_0^t\frac{dF(\tau)}{d\tau}d\tau $$

令$|\phi\rangle$表示入射渐进态(为了行文简洁,不讨论出渐进态),其散射态为

$$ \begin{align} |\phi+\rangle&=\lim_{t\to-\infty}u^{\dagger}(t)u_0(t)|\phi\rangle\\ &=|\phi\rangle+i\int_0^{-\infty}dtu^{\dagger}(t)(H-H_0)u_0(t)|\phi\rangle\\ &=|\phi\rangle+i\int d\vec{p}\int_0^{-\infty}e^{-i(E_p-H)t}V|\vec{p}\rangle\langle\vec{p}|\phi\rangle\\ &=|\phi\rangle+\lim_{\epsilon\to0^+}\int d\vec{p}G(E_p+i\epsilon)V|\vec{p}\rangle\langle\vec{p}|\phi\rangle \end{align} $$

最后一个等号用到了积分关系

$$ \int_0^{-\infty}dte^{-i\omega t}=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_0^{-\infty}dte^{-i(\omega+i\epsilon)t}=-i\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1}{\omega+i\epsilon} $$

定态散射与T矩阵

我们选择渐进态是定态$|\phi\rangle=|\vec{p}\rangle$,定义定态散射态

$$ |\vec{p}_{\pm}\rangle=\Omega_{\pm}|\vec{p}\rangle $$

定态散射态与束缚态构成了希尔伯特空间$\mathscr{H}$的一组完备正交基

$$ \int d\vec{p}|\vec{p}_{\pm}\rangle\langle\vec{p}_{\pm}|+\sum_{n}|n\rangle\langle n|=1 $$

因此对于任意的入射态,总能将其分解成定态散射态和束缚态的线性表示。利用上一节导出的公式,我们有

$$ |\vec{p}_{+}\rangle=|\vec{p}\rangle+G(E_p+i0^+)V|\vec{p}\rangle $$

然而,由于

$$ GV|\vec{p}\rangle=[G_0+G_0VG]V|\vec{p}\rangle=G_0V[1+GV]|\vec{p}\rangle=G_0V|\vec{p}_{+}\rangle $$

散射态可写成可迭代求解的形式

$$ |\vec{p}_{+}\rangle=|\vec{p}\rangle+G_0(E_p+i0^+)V|\vec{p}\rangle $$

对于S矩阵,我们可以类似的将其与格林算符联系起来

$$ \langle\vec{p}’|S|\vec{p}\rangle=\delta(\vec{p}’-\vec{p})+\frac{1}{2}\lim_{\epsilon\to0^+}\langle\vec{p}’|VG(\frac{E_{p’}+E_p}{2}+i\epsilon)+G(\frac{E_{p’}+E_p}{2}+i\epsilon)V|\vec{p}\rangle $$

利用T算符的性质和极限恒等式

$$ \lim_{\eta\to0}\frac{1}{\omega\pm i\eta}=\mathrm{Pr}\frac{1}{\omega}\mp i\pi\delta(\omega) $$

这里$\mathrm{Pr}$是取柯西主值

最后我们得到

$$ \langle\vec{p}’|S|\vec{p}\rangle=\delta(\vec{p}’-\vec{p})-2\pi i\delta(E_{p’}-E_{p})\langle\vec{p}’|T(E_p+i\epsilon^+|\vec{p}\rangle) $$

因此T算符在动量表象下的矩阵就是之前定义的T矩阵,而散射振幅可以写为

$$ f(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})=-(2\pi)^2m\langle\vec{p}’|T(E_p+i0^+)|\vec{p}\rangle=-(2\pi)^2m\langle\vec{p}’|V|\vec{p}_{+}\rangle $$

Born近似

由于T算符有级数展开

$$ T=V+VGV+VGVGV+\dots $$

取$T=V$就是著名的Born近似

$$ \begin{align} f(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})&=-(2\pi)^2m\langle\vec{p}’|V|\vec{p}\rangle\\ &=-\frac{m}{2\pi}\int d\vec{x}e^{-i\vec{q}\cdot\vec{x}}V(\vec{x})\\ &=-\frac{m}{2\pi}\int_0^{\infty}r^2dr\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\phi e^{-iqr\cos\theta}V(r)\\ &=-2m\int_0^{\infty}r^2dr\frac{\sin qr}{qr}V(r) \end{align} $$

这里$\vec{q}=\vec{p}’-\vec{p}$,取$\vec{x}$的$z$方向恰好是$\vec{q}$的方向

为了使Born近似成立,我们期望T算符的高阶项对散射振幅的贡献很小。对于Yukawa势的,只要入射粒子是极端非相对论或者极端相对论的,Born近似都成立。

Reference

课堂讲义