分波展开

由于$[H_0,L^2]$和$[H_0,L_z]$,我们可以选择球面波态$|E,l,m\rangle$作为自由粒子哈密顿量和角动量的共同本征态,它构成希尔伯特空间的一组完备正交基。它在坐标表象和动量表象下的表示为

$$ \langle\vec{r}|Elm\rangle=i^l(\frac{2m}{\pi p})^{1/2}\frac{1}{r}\hat{j}_l(pr)Y_{lm}(\hat{\vec{p}})\\ \langle\vec{p}|Elm\rangle=\frac{1}{\sqrt{mp}}\delta(E_p-E)Y_{lm}(\hat{\vec{p}}) $$

这里$p=\sqrt{2mE}$以及$\hat{j}_l$是Riccati-Bessel函数,和第二类球贝塞尔函数有关系$\hat{j}_l(z)=zj_l(z)$

对于球对称系统,根据Wigner-Eckart定理

$$ \langle E’l’m’|S|Elm\rangle=\delta(E’-E)\delta_{l’l}\delta_{m’m}s_l(E) $$

由于$S$算符是幺正算符,我们可以将它的本征值$s_l(E)$表示为指数形式

$$ s_l(E)=e^{2i\delta_l(E)} $$

$\delta_l(E)$被称为相因子。因此我们可以把散射振幅写为

$$ f(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})=\frac{2\pi}{ip}\sum_{lm}Y_{lm}(\hat{\vec{p}’})Y_{lm}^*(\hat{\vec{p}})[s_l(E_p)-1] $$

不妨把$\vec{p}$设为$z$方向,$\vec{p}’$设为$(\theta,\phi)$方向,则我们有散射振幅的分波展开

$$ f(\vec{p}’\leftarrow\vec{p})=\sum_l(2l+1)P_l(\cos\theta)f_l(E_p) $$

其中

$$ f_l=\frac{s_l(E_p)-1}{2ip}=\frac{e^{i\delta_l}\sin\delta_l}{p} $$

$pf_l$事实上落在圆心为$i/2$半径为$1/2$的单位圆上。

利用分波展开,我们很容易证明所谓的光学定理

$$ \mathrm{Im}f(\vec{p}\leftarrow\vec{p})=\frac{p}{4\pi}\sigma(\vec{p}) $$

定态散射态的波函数

定态散射态$|\vec{p}_+\rangle$满足上节提到的积分方程

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle=\langle\vec{x}|\vec{p}\rangle+\int d\vec{x}’\langle\vec{x}|G_0(E_p+i0^+)|\vec{x}’\rangle V(\vec{x}’)\langle\vec{x}’|\vec{p}_+\rangle $$

因此我们首先需要计算自由粒子格林函数

$$ \begin{align} \langle\vec{x}|G_0(z)|\vec{x}’\rangle&=\int d\vec{p}\frac{\langle\vec{x}|\vec{p}\rangle\langle\vec{p}|\vec{x}’\rangle}{z-E_p}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d\vec{p}\frac{e^{i\vec{p}\cdot(\vec{x}-\vec{x}’)}}{z-E_p}\\ &=\frac{im}{2\pi^2|\vec{x}-\vec{x}’|}\int_{-\infty}^{\infty}dp\frac{pe^{ip|\vec{x}-vec{x}’|}}{p^2-2mz}\\ &=-\frac{m}{2\pi}\frac{e^{ip|\vec{x}-\vec{x}’|}}{|\vec{x}-\vec{x}’|} \end{align} $$

最后一步积分利用了留数定理,因此积分方程可以化成

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle= \langle\vec{x}|\vec{p}\rangle-\frac{m}{2\pi}\int d\vec{x}’\frac{e^{ip|\vec{x}-\vec{x}’|}}{|\vec{x}-\vec{x}’|}V(\vec{x}’) \langle\vec{x}’|\vec{p}_+\rangle $$

假设$V(r)$是短程势,则上式积分的范围限制在一个有限区域。我们考虑$\vec{x}\gg\vec{x}’$

$$ |\vec{x}-\vec{x}’|=r[1-\frac{\vec{x}\cdot\vec{x}’}{r^2}] $$

于是有

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle= \langle\vec{x}|\vec{p}\rangle-\frac{me^{ipr}}{2\pi r}\int d\vec{x}’e^{-ip\hat{\vec{x}}\cdot\vec{x}’}V(\vec{x}’)\langle\vec{x}’|\vec{p}_+\rangle[1+O(\frac{a}{r})] $$

因此我们有$r\to\infty$时定态散射态的渐进表达式

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle\to\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}[e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}+f(p\hat{\vec{x}}\leftarrow\vec{p})\frac{e^{ipr}}{r}] $$

利用平面波的球面展开

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}\rangle=(2\pi)^{-3/2}\frac{1}{pr}\sum_{l}(2l+1)i^{l}\hat{j}_l(pr)P_l(\hat{\vec{p}}\cdot\hat{\vec{x}}) $$

和散射振幅的分波展开,我们有定态散射态分波展开的渐进形式

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle\to\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\frac{1}{pr}\sum_{l}(2l+1)[i^l\hat{j}_l(pr)+pf_l(p)e^{ipr}]P_l(\hat{\vec{p}}\cdot\hat{\vec{x}}) $$

分波散射态

类似于定态散射态的定义,我们定义

$$ |Elm+\rangle=\Omega_+|Elm\rangle $$

其波函数的形式为

$$ \langle\vec{x}|Elm+\rangle=i^l(\frac{2m}{\pi p})^{1/2}\frac{u_{l,p}(r)}{r}Y_{lm}(\hat{\vec{x}}) $$

径向波函数$u_{l,p}(r)$满足径向薛定谔方程

$$ [\frac{d^2}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}-U(r)+p^2]u_{l,p}(r)=0 $$

利用球谐函数的性质

$$ \sum_mY_{lm}^*(\hat{\vec{p}})Y_{lm}(\hat{\vec{x}})=\frac{2l+1}{4\pi}P_l(\hat{\vec{p}}\cdot\hat{\vec{x}}) $$

定态散射态的波函数可以写为

$$ \langle\vec{x}|\vec{p}_+\rangle=(2\pi)^{-3/2}\frac{1}{pr}\sum_l(2l+1)i^lu_{l,p}(r)P_l(\hat{\vec{p}}\cdot\hat{\vec{x}}) $$

由于$r\to\infty$时

$$ \hat{j}_l(z)\to\sin(z-\frac{l\pi}{2})\\ \hat{n}_l(z)\to\cos(z-\frac{l\pi}{2}) $$

定义Riccati-Hankel函数$\hat{h}_l^{\pm}(z)=\hat{n}_l(z)\pm i\hat{j}_l(z)$,比较上一节的结果,我们有以下$u_{l,p}(r)$的渐进表达式

$$ \begin{align} u_{l,p}(r)&\to e^{i\delta_l(p)}\sin[pr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l(p)]\\ &\to\frac{i}{2}[\hat{h}_{l}^-(pr)-s_{l}(p)\hat{h}_{l}^+(pr)]\\ &\to e^{i\delta_l(p)}[\cos\delta_l(p)\hat{j}_{l}(pr)+\sin\delta_l(p)\hat{n}_l(pr)] \end{align} $$

相移的确定

在势的作用范围以外$r>a$,$u_{l,p}(r)$的形式是确定的(即上节中的渐进表达式)。而在势作用范围以内,只能通过解经向薛定谔方程得到,为了确定系数,我们可以利用$r=0$时$u_{l,p}(r)=0$,以及$r=a$处的连续性条件

$$ \frac{u’_{l,p}}{u_{l,p}}=\Delta_l(p) $$

如果我们把渐进态代入上式子,可以确定相因子

$$ \tan\delta_l=-\frac{p\hat{j}’_l(pa)-\Delta_l(p)\hat{j}_l(pa)}{p\hat{n}’_l(pa)-\Delta_l(p)\hat{n}_l(pa)} $$

在低能近似下$z=pa\to0$

$$ \hat{j}_l(z)\to\frac{z^{l+1}}{(2l+1)!!}\\ \hat{n}_l(z)\to\frac{(2l-1)!!}{z^l} $$

因此相因子为

$$ \tan\delta_l=-\frac{(pa)^{2l+1}}{(2l-1)!!(2l+1)!!} $$

或者写为$\delta\to-a_lp^{2l+1}$,系数$a_l$被称为散射长度

Reference

课堂讲义