黎曼曲率张量$R_{abc}{}^d$定义为

$$ R_{abc}{}^d\omega_d=(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c\qquad\forall \omega_c\in\mathscr{F}(0,1) $$

对$d$降指标后$R_{abcd}=g_{de}R_{abc}^{e}$具有下列对称性

$$ R_{abcd}=-R_{bacd}\\ R_{abcd}=-R_{abdc}\\ R_{abcd}=R_{cdab}\\ R_{abcd}+R_{bcad}+R_{cabd}=0\\ $$

考虑$n=4$的情况,注意到黎曼曲率张量对第一第二或第三第四个分量有反对称性,因此非零的独立分量数至多有$(^4_2)^2=36$个(即选取指标使得的$a\not=b$且$c\not=d$)。

那么我们可以按照不同的指标取值列出一张表格

表格

注意到关于前后指标组是对称的,因此表中只有21个是独立分量。

我们现在考虑利用最后一个对称性$R_{abcd}+R_{bcad}+R_{cabd}=0$,可以证明,如果有两个指标取值相同,循环恒等式可以从前三条对称性中导出。

$$ R_{aacd}+R_{acad}+R_{caad}=0-R_{caad}+R_{caad}=0\\ R_{abca}+R_{bcaa}+R_{caba}=R_{caab}+0-R_{caab}=0 $$

因此最后一个对称性只可能对四个指标各不相同的情况有约束,即指标取值为$(1234)$,在图中我们已经标出了唯一的三项。因此有

$$ R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=R_{1234}+R_{3124}+R_{2314}=0 $$

所以黎曼曲率张量只有$20$个独立分量,这些独立的分量组由表格给出。