本系列笔记将大量摘抄James Binney / Scott Tremaine 所著的 Galactic Dynamics (Second Edition) 中的内容,部分内容参考了课堂讲义或是来自个人理解,不能保证准确性(我也不是做这个方向的),如有不适请勿阅读。笔记内的所有图片都来自 Galactic Dynamics,版权归原作者所有。

封面图来自pixiv27281935

一个恒星系统是由大量恒星组成的引力束缚系统,星系动力学就是研究恒星系统演化的一门学科,它的一个目标是在实验室的计算机上模拟星系的各种行为,这对我们理解星系形成、演化以及大尺度结构具有重要意义

现代的星系动力学至少与三个理论物理分支有关:首先是经典力学,一个恒星系统的行为由牛顿运动定律和牛顿万有引力定律决定1,可惜的是,一个星系往往包含$\sim10^{10}$颗恒星,直接处理这么多星体之间的相互作用几乎是不可能的(哪怕只是数值求解也是不可能的);然后是统计物理,统计物理与星系动力学之间的联系相当紧密,因为一个星系中包含的恒星的数量多到能够/也只能用统计的方法来处理;最后是等离子物理,这个学科为了处理大量粒子间的长程作用发展了许多有用的数学工具,而这些数学工具也都恰好能被星系动力学借用

在进一步说明引力束缚系统的独特性质之前,我先规定一下这个系列笔记中的符号约定。我将使用$=$表示到小数点后几位程度上的相等,使用$\approx$表示在数量级上的相等,使用$\simeq$表示在前面两者之间程度上的相等,这些约定在天体物理领域中是相当有用的。

对读者而言,提到大量粒子相互作用的系统,第一时间可能会想到气体。但引力束缚系统和气体系统之间具有本质上的差别,研究气体的经验并不能直接套用到研究星系上,这是因为气体分子之间的作用是短程的,而引力作用是长程的,气体分子的速度由于小尺度上的剧烈相互作用而变化,恒星的速度却受大尺度上的势场作用而缓慢变化,这一点可以由下图定性说明

引力的长程作用

假定恒星均匀地分布在空间中,图中黑色球壳的质量正比于半径的平方$r^2$,而对顶点产生的作用力反比于半径的平方$r^{-2}$,因此不同距离处的球壳对顶点的作用是相同的,顶点处受到的引力大致正比于系统的尺度$R$,因此引力束缚系统的作用是长程的,任意一颗恒星都可以看成受到整个星系的作用

再来考虑一下有没有剧烈的短程作用的可能性,即有没有可能两颗恒星之间直接相撞。考虑一个半径为$R$,由$N$个全同粒子构成的球形系统,恒星之间的碰撞截面$\sigma\approx 4\pi r^2$,这里$r$是恒星的半径,平均自由程为$\lambda=\dfrac{1}{n\sigma}$,这里$n$是恒星的数密度$n=\dfrac{3N}{4\pi R^3}$,穿越这个系统的时标,即所谓的穿越时标定义为$t_{\rm cross}= R/v$,因此碰撞时标可以写为

$$ t_{\rm coll}=(\frac{R}{r})^2\frac{1}{N}t_{\rm cross} $$

对于银河系,$R= 10\ \rm kpc$,$v\simeq 200\ \rm km\ s^{-1}$,$N\simeq 10^{10}$,取恒星半径为太阳的半径$r=r_{\odot}=6.9\times 10^{5}\ \rm km$,穿越时标为$t_{\rm cross}=5\times10^{7}\rm\ yr$,碰撞时标为$t_{\rm coll}\simeq 10^{21}\rm\ yr$,这个时标比宇宙的年龄还要大$10^{11}$倍,因此这样剧烈的直接碰撞在星系中是可以忽略的2

根据上文的讨论,一个自然的想法是,将单个恒星的运动看成受到整个星系平滑势场的作用,这里平滑的意思是,我们使用平滑的密度分布代替一系列离散质点的集合。这种处理方法有一定的适用条件,例如,如果系统的密度分布是均匀各向同性的,那么在这个势场中运动的质点受到的作用会具有高度的对称性,但换到离散分布的情况下,这种对称性会遭到破坏,恒星会受到一个累积的微小扰动,当时间足够长的时候,这种扰动就不可忽略,平滑性假设也将失效。事实上,可以从半定量的角度来计算这种效应,首先我们考虑两颗恒星的交会

两体交会

固定一颗恒星,假定另一颗恒星以碰撞参数$b$,速度$v$入射,如果两颗恒星之间的纵向距离足够远,可以认为在交会过程中的横向速度几乎保持不变,纵向的速度变化可以由$\delta v\approx(1/m)\int F_{\perp}dt$来估算

$$ F_{\perp}=\frac{Gm^2}{b^2+x^2}\cos\theta=\frac{Gm^2}{b^2}[1+(\frac{vt}{b})^2]^{-3/2}\\ \delta v=\frac{Gm}{b^2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{[1+(vt/b)^2]^{3/2}}=\frac{2Gm}{bv} $$

如果$\delta v\simeq v$,上面的近似失效,对应的碰撞参数为

$$ b_{90}=\frac{2Gm}{v^2} $$

只有当$b\gtrsim b_{90}$时近似成立。现在考虑恒星沿着轴线垂直穿过一个星系盘,这个星系盘假设由$N$个全同恒星组成,半径为$R$,均匀分布的盘密度则为$N/\pi R^2$,恒星会与一条半径为$b$的环带上的星体发生$\delta n$次近交会

$$ \delta n=\frac{N}{\pi R^2}2\pi b\ db=\frac{2N}{R^2}b\ db $$

上面的式子事实上就假设了平滑化的密度分布,平滑化假设下,恒星穿越这个盘的平均纵向速度变化事实上为$0$,但我们可以计算每次穿越,环带对恒星速度平方变化的贡献

$$ \sum\delta v^2\simeq\delta v^2\delta n=(\frac{2Gm}{bv})^2\frac{2N}{R^2}b\ db $$

积分得到总的速度平方的变化

$$ \Delta v^2=\int_{b_{\rm min}}^{b_{\rm max}}\sum\delta v^2\simeq8N(\frac{Gm}{Rv})^2\ln\Lambda $$

其中因子

$$ \ln\Lambda=\ln(\frac{b_{\rm max}}{b_{\rm min}}) $$

称为库仑对数,直线轨迹假设在$b\lesssim b_{90}$时失效,均匀分布假设在$b\gtrsim R$时失效,可以假设$b_{\rm min}=f_1b_{90}$,$b_{max}=f_2R$,$f_1$和$f_2$是比例系数,在$R\gg b_{90}$时,库仑对数近似可写为

$$ \ln\Lambda=\ln(\frac{R}{b_{90}}) $$

在星系边缘运动的恒星的典型速度为

$$ v^2\approx\frac{GNm}{R} $$

代入上面的式子,得到

$$ \frac{\Delta v^2}{v^2}\approx\frac{8\ln\Lambda}{N} $$

当累积的速度平方的变化和原始速度平方相当,恒星需要经过$n_{\rm relax}$次穿越

$$ n_{\rm relax}\approx\frac{N}{8\ln\Lambda} $$

对应的时标为所谓的弛豫时标

$$ t_{\rm relax}\simeq \frac{0.1}{\ln N}t_{\rm cross} $$

系统经过弛豫时标演化后,恒星会丧失所有有关它初始速度的记忆,这也是“弛豫”一词的来源。而仅当$t\ll t_{\rm relax}$时,平滑性假设成立,这时的系统被称为无碰撞系统3

下表列出了一些典型引力系统的穿越时标和弛豫时标

引力系统质量($M_{\odot}$)半径($\rm kpc$)速度($\rm km\ s^{-1}$)$N$$t_{\rm cross}$($\rm yr$)$t_{\rm relax}$($\rm yr$)
星系中的恒星系统$10^{10}$$10$$100$$10^{10}$$10^{8}$$>10^{15}$
星系中的暗晕$10^{12}$$200$$200$$>10^{50}$$10^{9}$$>10^{60}$
星系团$10^{14}$$1000$$1000$$10^{3}$$10^9$$\sim10^{10}$
星团$10^{4}$$0.01$$2$$10^4$$5\times10^6$$5\times10^8$

另外下面还不加推导地列出了一些常用的时标

名称含义公式
动力学时标$t_{\rm dyn}$穿越到系统中间的时间$t_{\rm dyn}=\dfrac{\pi}{2}t_{\rm cross}$
自由落体时标$t_{\rm ff}$零压的球坍缩成一个点所用的时间$t_{\rm ff}=\dfrac{t_{\rm cross}}{\sqrt{2}}$
轨道时标$t_{\rm orb}$完成一个完整圆轨道所用的时间$t_{\rm orb}=2\pi t_{\rm cross}$

  1. 在大多数星系中心存在超大质量黑洞,研究星系中心附近的恒星运动时相对论效应是不可忽略的,在本系列笔记中,我们假定中心黑洞对整个星系运动学上的影响是可以忽略的。但这个假定很可能是不对的,近些年的研究发现,中心黑洞对整个星系的影响超乎想象得大,有兴趣的读者可以搜索一下AGN feedback
  2. 在密度相当高的地方譬如球状星团或者是星系中心黑洞附近就不可忽略
  3. 这里的碰撞严格意义上指的是交会