相信读过三体的人都对第三卷中描述的宇宙重启印象深刻,书中说,只要小宇宙归还的质量能够使得大宇宙的密度达到临界值,也就是临界密度,宇宙就会从开放转为封闭,从而宇宙会坍缩重启。

稍微读过一些科普书的人可能会问,开放和封闭描述的是宇宙的几何结构,和最终命运有什么关系呢?临界密度这个数值又是怎么来的?

事实上,临界密度是一个历史遗留概念,最初是它与宇宙几何结构以及最终命运相挂钩,但现在临界密度更多的只是以一个参数出现,而失去了临界的含义(在某种意义上)。为了把这些来龙去脉解释清楚,我需要介绍一下著名的Friedmann方程。

$$ (\frac{\dot{\mathcal{R}}}{\mathcal{R}})^2+\frac{kc^2}{\mathcal{R}^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho+\frac{1}{3}\Lambda c^2 $$

其中$\mathcal{R}(t)$是尺度因子,描述时空几何的特征尺度,随着时间演化,$k$是曲率参数,只能取$0,+1,-1$三种情况,$\rho(t)$是宇宙的密度(0阶近似下的光滑宇宙),$\Lambda$是来自于爱因斯坦场方程中的宇宙学常数。

稍微解释一下这个方程是怎么来的,以及尺度因子和曲率参数的含义。首先,物理学家们假定,宇宙是均匀各向同性的,这就是著名的宇宙学原理(更准确的说法需要在统计意义上理解,我们观察到的宇宙显然不是均匀的),在这个假定下,时空的几何只存在三种可能。

图1

当然我们生活在三维空间中,没法想象三维的情况,只能通过二维图像来类比理解。如图1所示,这是二维情况,想象一下你作为曲面上的一只扁平蚂蚁,从左到右对应于$k=+1,0,-1$,是闭合、平坦和开放的,所谓的尺度因子就是左边球的半径,或者右边有关马鞍面的参数。Friedmann方程就是在这三种时空几何条件下结合爱因斯坦场方程(假设宇宙中充满着理想流体)得到的。

现在我们把Friedmann方程中出现的参数无量纲化,定义无量纲的尺度因子$a(t)=\dfrac{\mathcal{R}}{\mathcal{R}_0}$,其中$\mathcal{R}_0$是现在这个时刻宇宙的特征尺度,那么膨胀的速率可以写成$H(t)=\dfrac{\dot{\mathcal{R}}}{\mathcal{R}}=\dfrac{\dot{a}}{a}$,令时间$t$为我们当前的时间$t_0$,那么就得到了我们熟悉的哈勃常数$H_0$。如果宇宙中的普通物质都是重子物质(这个假设是相当有效的,因为光子/相对论性中微子的占比很小),质量守恒告诉我们$\rho(t)=\dfrac{\rho_0}{a^3}$。在当前时刻Friedman方程告诉我们

$$ H_0^2+\frac{kc^2}{\mathcal{R}_0^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho_0+\frac{1}{3}\Lambda c^2 $$

定义下面三个宇宙学参数(这也是文献中出现非常频繁的)

$$ \Omega_0=\frac{\rho}{\rho_{crit}}\qquad \rho_{crit}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}\\ \Omega_k=-\frac{kc^2}{H_0^2\mathcal{R}_0^2}\\ \Omega_{\Lambda}=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2} $$

而这三个参数满足$\Omega_0+\Omega_k+\Omega_{\Lambda}=1$。这里出现了临界密度$\rho_{crit}$,如果重子物质密度大于这个值意味着$\Omega_0>1$。

引入这些参数后的Friedman方程能写成更加常用的形式

$$ \frac{1}{H_0^2}(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{\Omega_0}{a^3}+\frac{\Omega_k}{a^2}+\Omega_{\Lambda} $$

现在我们定义有效势能$U(a)=-\dfrac{\Omega_0}{a^3}-\dfrac{\Omega_k}{a^2}$,显然只有在$\Omega_{\Lambda}\ge U(a)$的时候方程有解。对力学比较熟悉的同学,很容易把这里的操作和有心力场中定义有效势能的操作联系起来——两者都试图通过定性分析方程给出自变量(这里是尺度因子$a$)的取值范围,这里的$\dfrac{1}{H_0^2}(\dfrac{\dot{a}}{a})^2$对应于动能。

假设宇宙是闭合的,也就是$k=+1$,我们可以画出这样的一张图。

图2

注意画图的时候重要的是有效势能的形状,具体位置是次要的。可以发现,当$\Omega\le \Omega_{\Lambda_E}$时,$a$只能在$0$和某个有限值范围内变动,如果宇宙一开始是从$a=0$开始膨胀的,那么我们很容易得到这样的图景,宇宙膨胀到某个$a$值的时候坍缩回去,当然在$\Omega_{\Lambda}>0$时还允许宇宙从无限大坍缩到某个$a$值再反弹回去或者相反的解。

$a_{E}$的这点是著名的爱因斯坦静态宇宙学模型,意味着宇宙是静态不会膨胀也不会收缩的。然而从图中就能看出这一点是不稳定的,不可能是真实的物理宇宙。

假设宇宙是开放或者平坦的,有效势能曲线的形状会完全不同。

发现只要$\Omega_{\Lambda}\ge0$,宇宙必然是永恒膨胀下去的。

看到这里读者可能想问,临界密度的临界在哪?其实很简单,在1995年之前,人们研究的都是无宇宙学常数模型,对应$\Omega_{\Lambda}=0$,在$\rho_0>\rho_{crit}$时,$\Omega_0>1$,则$\Omega_k<0$对应闭合宇宙,也就是第一张图的情况,宇宙将坍缩,而$\rho\le \rho_{crit}$时,宇宙将永远膨胀下去。

然而,现在的观测结果发现$\Omega_0=0.3$和$\Omega_{\Lambda}=0.7$,强有力地支持着暗能量的存在,临界密度的临界已经失去了原本的含义,更没法据此预言宇宙的最终命运。

当然,强行使用临界密度这个概念也不是不行……首先我们假定宇宙是平坦的,那么如果我们观测到宇宙中普通物质的密度大于临界密度,则有$\Omega_{\Lambda}<0$,对应第二张图的情况(曲线的形状可能会稍微有些不同)宇宙最后确实会坍缩,只不过这里的临界不再与开放/闭合宇宙有关系了。

本文内容大部分摘抄于nicola vittorio所著的Cosmology,结合当时我与某同学的讨论。这种画图的处理方法非常简洁,只需要定性分析,在其他教材上没有发现类似的处理手法。

我在其他某些权威科普文上发现过有用约化临界密度这个概念的,不太清楚他们是怎么处理的。

另外我觉得很多人对现代宇宙学参数的确定存在误解,目前主流的参数确定方法需要用到统计贝叶斯,换句话说我们是通过数据同时得到一堆参数的估计值的,一般来说并没有什么控制变量直接测量某个参数的方法。(也有例外,譬如诺奖得主Riess主导的测量local哈勃常数的项目用的是几何方法,几乎是直接的测量)